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Nach dreieinhalb Stunden Aufgabenbearbeitung waren alle erleichtert, ihre Aufgaben nun endlich ruhen zu lassen. Während der Korrekturzeit ging es gleich weiter mit einem Programm, das die Schüler wählen durften; entweder Austoben im Sportforum der CAU oder ein Vortrag eines Lübecker Mathematikprofessors über Mathematik in der Medizin. Die meisten Teilnehmer der Klassen 9 - 13 wählten den Vortrag des Professors, was sich dann als gute Entscheidung herausstellte. Mit viel Witz und Fachwissen brachte er seinen Zuhörern nahe, was Mathematik und Informatik heutzutage in der Medizin bewegen können.
Nach ungefähr eineinhalb Stunden versammelten sich wieder alle Teilnehmer in ihren Hörsälen, um der Vorstellung wenigstens eines Lösungsweges zu jeder Aufgabe zuzuhören. Es wurde natürlich klar gestellt, dass es viele richtige Lösungswege gab. Danach schlossen sich gleich die Siegerehrungen an, die für die Autoren dieses Artikels mit einer Anerkennung durchaus erfolgreich endeten.
Die Mathematikolympiade möchte bei Schülern das Interesse an Mathematik wecken, oder wenn bereits vorhanden, bestärken. Auch von der FPS haben in den letzten Jahren immer wieder Schüler teilgenommen, jedoch könnten es natürlich mehr sein (besonders in der Mittel- und Oberstufe). Die Autoren möchten also jedem empfehlen, sich im nächsten Jahr einen Aufgabenbogen für die Schulrunde zu besorgen. Interessierte Schüler können sich also an ihren Mathematiklehrer wenden, der entweder selber eine Teilnahme anbietet oder auf einen anderen Lehrer verweist. Mathematisch interessierten Mittelstufenschülern sei auch die „Mathe-AG“ ans Herz gelegt, die sich regelmäßig trifft und Aufgabenstellungen/Rätsel rund um die Mathematik bearbeitet. Gegenwärtig trifft sie sich freitags in der 7./8. Stunde, doch niemand kann wissen, wie die Stundenpläne sich nach den Osterferien ändern werden.
Die Autoren danken Herrn Pettke, dass er ihnen durch seinen Einsatz die Teilnahme an der Matheolympiade ermöglicht hat!
Alexander Osterkorn, 0IIId, Folke Brodersen, 11. Jahrgang
Zur Illustration hier zwei Beispiellösungen aus dem Wettbewerb:
Lösung von Aufgabe Nr. 1 der Landesrunde im Wettbewerb 11 - 13 (Folke Brodersen)
Man bestimme alle Tripel reeller Zahlen (x;y;z), die folgendes Gleichungssystem erfüllen:
(1) x²+y²+z²=1
(2) x³+y³+z³=1
Lösung:
Da Quadrate nur positiv oder Null sein können, ergibt sich: 0 ≤ x² ≤ 1.
Daraus folgt: -1 ≤ x ≤ 1. Gleiches gilt aufgrund der vorhandenen Symmetrie für y und z.
Wegen -1 ≤ x,y,z ≤ 1, ergibt sich: x² ≥ x³, y² ≥ y³ und z² ≥ z³.
Im Falle, dass x² > x³ ist, gilt: x²+y²+z² > x³+y²+z² ≥ x³+y³+z³
Daraus folgt: 1 = x²+y²+z² > x³+y³+z³ = 1. Dieser Fall kann also nicht auftreten.
Damit ergibt sich: x² = x³ │-x²
0 = x² (x - 1) Das Produkt wird genau dann zu 0, wenn einer der Faktoren zu 0 wird.
Daher ist x = 0 oder x = 1. Dieses folgt analog für y und z.
Durch das Einsetzen in (1) und (2) ergeben sich folgende Lösungstripel:
L x,y,z = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Lösung von Aufgabe Nr. 1 der Landesrunde für die Klassenstufe 9 (Alexander Osterkorn)
Beweisen Sie, dass es unendlich viele positive ganze Zahlen a gibt, für welche die Zahl a + 0,25 das Quadrat einer rationalen Zahl ist.
Für jede ungerade natürliche Zahl u ≥ 3ist a(u):= ¼ (u²-1) eine natürliche Zahl.
u² - 1 = (u - 1)(u + 1)
Da u ungerade ist, ist sowohl u - 1 als auch u + 1 eine gerade Zahl.
Das Produkt aus beiden ist also durch 4 teilbar.
a(u) = ¼ (u²-1)
= ¼ u² - ¼ || + ¼
a(u)+ ¼ = ¼ u²
a(u)+ ¼ = ( u / 2 )²
Man sieht also, dass a(u) + ¼ das Quadrat einer rationalen Zahl ist.
Da es unendliche viele ungerade natürliche Zahlen u ≥ 3 gibt, gibt es auch unendlich viele a (u) mit der gewünschter Eigenschaft.
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